terça-feira, 3 de agosto de 2010

Demonstração Derivada Função Exponencial e Logarítmica

Derivada da Função Exponencial

clip_image002

Da definição de derivada:

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Já foi demonstrado aqui neste blog que:

 clip_image002[10]

 

Portanto:

clip_image002[12]

 

 

Está provado que

clip_image002[14]

 

C.q. d.!!

Generalizando:

Quando ax = ex, temos:

f’(x) = ex.ln e = ex .1 = ex

DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA

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Aplicando a propriedade da diferença de logaritmos:

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O limite Fundamental:

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Portanto, temos:

clip_image002[26]

Invertendo o logaritmo, obtemos:

clip_image002[28]

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Está provado que:

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C.q.d!!!

Generalizando:

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Segue o mesmo raciocínio anterior, resultando:

clip_image002[42]

Logo:

clip_image002[40]

segunda-feira, 2 de agosto de 2010

Demonstração Derivada do Quociente e da Potência

Derivada do Quociente

clip_image002[29]

Vamos chamar f(x) = y, h(x) = u e g(x) = z.

Temos a funçãoclip_image002[31] . Provar que clip_image002[33]

Da definição de derivada, temos:

clip_image002[35]

clip_image002[48]

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Fazendo uma análise em zΔz: Δx -->0, Δz-->0, então zΔz = 0

Restando:

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Logo, está provado que:

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Como Queríamos Demonstrar!!

Existe outra forma mais simples de demonstrar essa derivada. Um exemplo pode ser encontrado no blog “O Baricentro da Mente” http://obaricentrodamente.blogspot.com/2009/07/demonstracao-da-derivada-da-funcao_18.html

 

Derivada da Potência

f(x) = xn

Provar que f’(x) = n.xn-1

Da definição de derivada:

clip_image002     

clip_image002[4]

Para esta demonstração vamos utilizar o Binômio de Newton:

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Eliminamos os simétricos xn e colocamos Δx em evidência e também o eliminamos, restando:

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Substituindo a tendência Δx, resulta:

clip_image002[17]

Logo, f’(x) = n.xn-1

Como queríamos demonstrar.