Demonstrações - Derivadas

Derivada do Produto

f(x) = h(x).g(x)

Provar que f’(x) = h’(x).g(x) + g’(x).h(x)

Consideremos:  y = f(x), u = h(x) e z = g(x)

Então: y + Δy = f(x+Δx), u + Δu = h(x + Δx) e z + Δz = g(x + Δx)

y = u.z => y’ = u’.z + u.z’

                                 u + Δu = h(x + Δx), quando Δx-->0, Δu-->0

temos:

Está provado que y’ = = u.z’ + z.u’ = u’.z + u.z’

Demonstrações – Derivadas I

Vou fazer uma série de postagens das demonstrações das fórmulas de derivação.

Derivada da Soma

f(x) = h(x) + g(x) Provar que f’(x) = h’(x) + g’(x)

Chamemos y = f(x), u = h(x) e z = g(x)

Então temos: y = u + z  e y’ = u’ + z’

Da definição de derivada, temos:

Temos que:

y + Δy = f(x+Δx)

u + Δu = h(x + Δx)

z + Δz = g(x + Δx)

Vamos fazer as substituições no limite:

Logo, y’ = u’ + z’

Queda Livre dos Corpos – Exercícios de Física

LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA

1 – Um corpo é lançado do solo verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Desprezando a resistência do ar e admitindo g = 10m/s², calcular:

a) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima;

b) a altura máxima atingida em relação ao solo;

c) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo.

d) a velocidade ao chegar ao solo.

2- Um móvel é lançado do solo verticalmente com velocidade inicial de 40 m/s. Desprezando-se a resistência e adotando g = 10 m/s², calcule:

a) o tempo gasto pelo corpo para atingir a altura máxima;

b) a altura máxima atingida;

c) o tempo gasto pelo corpo para retornar ao solo.

d) a velocidade ao tocar o solo.

3- Um jogador de beisebol imprime uma velocidade V₀ = 30,48 m/s a uma bola, que sobe verticalmente. Que altura máxima a bola atingirá? Adote g = 9,8 m/s².

4- Um móvel é lançado do solo verticalmente para cima e retorna ao local de lançamento após 12 segundos. Adotando g = 10 m/s², calcule:

a) a velocidade do lançamento;

b) a altura máxima atingida em relação ao solo.

5- Uma pedra é lançada verticalmente para cima, com velocidade de 3m/s, de uma altura de 2m acima do solo. Determine o intervalo de tempo desde o instante de lançamento até o instante em que a pedra chega ao solo (g = 10m/s²).

LANÇAMENTO VERTICAL PARA BAIXO

6- Um corpo é abandonado em um ponto situado a 80 metros acima da superfície da Terra, numa região em que a aceleração da gravidade é g = 10 m/s². Despreze a resistência do ar.

a) Quanto tempo o corpo gasta até atingir o solo?

b) Com que velocidade o corpo atinge o solo?

c) Qual a altura do corpo 2 segundos após ter sido abandonado?

7- Abandona-se um corpo do alto de uma montanha de 180 metros de altura. Desprezando a resistência do ar e adotando g = 10 m/s². Responda:

a) Qual o tempo gasto pelo corpo para atingir o solo?

b) Qual a velocidade do corpo ao atingir o solo?

8- (UF-MT) Galileu, na Torre de Pisa, fez cair vários objetos pequenos, com o objetivo de estudar as leis do movimento dos corpos em queda. A respeito dessa experiência, julgue os itens, desprezando o efeito do ar.

I. A aceleração do movimento era a mesma para todos os corpos.

II. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao solo horizontal no mesmo instante que o mais leve.

III. Se dois corpos eram soltos juntos, o mais pesado chegava ao solo horizontal com velocidade maior que o mais leve

São corretos:

a) todos c) apenas o II e) apenas o I e o III

b) apenas o I d) apenas o I e o II

9- Uma cachoeira tem uma altura de 320m. Desprezando a resistência do ar e adotando g=10m/s. determine a velocidade da água na base cachoeira.

10- Um tijolo cai de um prédio em construção de uma altura de 20m. Qual a velocidade do tijolo ao atingir o solo? Quanto tempo gasta na queda? Adote g=10m/s.

11- Um corpo é abandonado de uma altura H, leva 7 s para chegar ao solo. Dando g=9,8 m/s calcule H.

12- Abandona-se uma pedra do alto de um edifício e esta atinge o solo 4s depois. Adote g = 10m/s² e despreze a resistência do ar. Determine:

a) a altura do edifício;

b) o modulo da velocidade da pedra quando atinge o solo.

13-Um corpo é lançado verticalmente para baixo com velocidade inicial de 15m/s. Sabendo-se que a altura inicial era de 130m, determine o instante em que o corpo se encontra a 80m do solo. (Dado: g = 10m/s², despreze a resistência do ar.)

14- O gato consegue sair ileso de muitas quedas. Suponha que a maior velocidade com a qual ele pode atingir o solo sem se machucar seja de 8m/s. Então, desprezando a resistência do ar, a altura máxima de queda para que o gato nada sofra deve ser de:

Desafio de Física

Uma pedra cai do telhado de uma casa e percorre a altura de uma janela, colocada 19,6 m abaixo, no tempo de 0,1 segundos.

Determine a altura h da janela. Adote g = 9,8 m/s².

Fundamentos de Matemática Elementar - Complemento do Professor

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A Conjectura de Catalan

Dentre os vários problemas matemáticos, conjecturas, teoremas e indeterminações existem alguns que, para os amantes desse raciocínio exato, são incrivelmente belos pela sua simplicidade no enunciado, mas que resistem por vários anos desafiando os mais brilhantes pensadores dessa raínha das ciências, esperando uma solução digna que os comprovem.

É o caso da Conjectura de Catalan (ou Teorema de Mihailescu),  proposta em 1844 pelo matemático belga Eugène Charles Catalan (1814 – 1894), que por 158 anos permaneceu sem solução desafiando os melhores matemáticos, sendo demonstrado em abril de 2002 pelo matemático romeno Preda V. Mihailescu (nascido em 23 de maio de 1955) e publicado no Jornal de Crelle em 2004.

VAMOS AO PROBLEMA!

Considere a sequência a seguir:

4, 8, 9, 16, 25, 27, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, . . . .

Pergunto, antes de mais nada, o que há de tão interessante nessa sequência??? Você seria capaz de encontrar uma propriedade matemática ou conjecturar algo que desafiasse os melhores matemáticos desde 1844?

Então, Catalan percebeu que nesta sequência de números inteiros maiores que 1, com quadrados, cubos e potências perfeitas, os únicos números consecutivos são o 8 = 2³     e 9 = 3². As primeiras perguntas sugeridas foram: Existem outros pares de inteiros nesta sequência? Quantos? Finitos? Infinitos?

Outras perguntas que podem surgir: Existem outras potências consecutivas além de 8 e 9?

A conjectura afirma que 2³ e 3²  é o único par de potências consecutivas. Ou seja, que a única solução para os números naturais de

x^a – y^b = 1

para x, a, y, b> 1 é x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

VII Encontro Paraense de Educação Matemática - EPAEM

É um evento promovido pela Sociedade Brasileira de Educação Matemática – SBEM e Sociedade Brasileira de Educação Matemática Regional Pará – SBEM-PA.

O VII EPAEM será sediado na Universidade da Amazônia – UNAMA, Campus Alcindo Cacela, Belém-PA, no período de 08 a 10 de setembro de 2010.

OBJETIVOS

Visando transformar em realidade os anseios de uma comunidade comprometida com as necessidades da sociedade, estabelecemos os seguintes objetivos para o VII EPAEM:

• Oportunizar o intercâmbio de experiências docentes e de pesquisas em Educação Matemática no Estado do Pará e na Amazônia;
• Promover a comunicação e o debate sobre estudos, pesquisas, projetos e experiências de profissionais e estudantes interessados na área de Educação Matemática e Matemática.
• Desenvolver a área de Educação Matemática e Matemática comprometida com uma intervenção pedagógica qualificada que contribua para a construção de uma sociedade igualitária e democrática;
• Consolidar o papel da entidade nacional e regional como representante das ações políticoeducacionais junto aos órgãos governamentais e a sociedade como um todo;
• Proporcionar um lócus de formação continuada para os profissionais do ensino das redes públicas e privada do estado do Pará, funcionando, ao mesmo tempo, como instrumento divulgador dos conhecimentos produzidos na área de Educação Matemática e Matemática;
• Promover a integração entre os grupos de matemáticos, psicólogos, educadores e de profissionais de outras áreas, interessados na Educação Matemática e Matemática.

PÚBLICO ALVO
 
O VII EPAEM deverá congregar cerca de 800 profissionais e estudantes nas seguintes categorias:
• Pesquisadores em Matemática e Educação Matemática;
• Pesquisadores interessados em Matemática e Educação Matemática;
• Docentes e Discentes de Pós-Graduação em Matemática e Educação Matemática;
• Docentes e Discentes dos Cursos de Licenciatura em Matemática;
• Docentes do Ensino Superior interessados em Matemática e Educação Matemática;
• Professores de Matemática do Ensino Fundamental e Médio das redes pública e privada;
• Professores da Educação Infantil, Educação de Jovens e Adultos, das Séries
Iniciais, do Ensino Fundamental e do Ensino Médio, das redes pública e privada;
• Educadores e profissionais interessados em Matemática e Educação Matemática;
• Discentes de outras áreas interessados na Educação Matemática.

Mais informações, consulte http://www.sbempa.mat.br/fotos/v_epaem.pdf 

Estaremos lá!